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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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5. Hallar la función $f$ tal que
c) $f'(x)=x e^{x}$ y $f(0)=4$

Respuesta

Vamos a utilizar integración por partes con la formula:
$ \int f(x) \, g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) \, g(x) \, dx $
Elegimos:

$ f(x) = x $

$ g'(x) = e^x $ Integramos \( g'(x) \):

$ g(x) = \int e^x \, dx = e^x $ Usamos la fórmula:

$ \int x e^x \, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx $
La integral de \( e^x \) es:

$ \int e^x \, dx = e^x $
Por lo tanto:

$ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C $

$ = e^x (x - 1) + C $
Usamos el dato \( f(0) = 4 \):

$ f(0) = e^0 (0 - 1) + C = -1 + C = 4 $

$ C = 4 + 1 = 5 $ Nos queda entonces:

$ f(x) = e^x (x - 1) + 5 $
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Avatar Erika 27 de octubre 18:55
Muchas gracias Juli!! ☺️
Avatar Erika 25 de octubre 16:37
Hola Juli.
Por qué no se podría usar sustitución? Me cuesta mucho diferenciar cuando usar sustitución y partes ? 🫣 Gracias 😊 
Avatar Julieta Profesor 27 de octubre 13:44
@Erika Hola Eri! En este caso no podemos usar sustitución porque no hay una función dentro de otra que simplifique la integral.
La derivada de $x$ es $1$, y la derivada de $e^x$ también es $e^x$, así que ninguna se "acomoda" para hacer una sustitución directa.

La integración por partes se usa cuando tenés un producto de dos funciones diferentes como pasa en este caso, donde tenés una algebraica y una exponencial.

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